Question

cho A=P^4 trong đó P là số nguyên tố. Tìm P để tổng các ước dương của A là số chính phương

Answer 1

\(A=p^4\Rightarrow A\) có các ước dương: \(\left\{1;p;p^2;p^3;p^4\right\}\)

\(1+p+p^2+p^3+p^4=k^2\)

\(\Leftrightarrow4p^4+4p^3+4p^2+4p+4=\left(2k\right)^2\)

Ta có:

\(4p^4+4p^3+4p^2+4p+4=\left(2p^2+p\right)^2+3p^2+4p+4>\left(2p^2+p\right)^2\)

\(4p^4+4p^3+4p^2+4p+4=\left(2p^2+p+2\right)^2-5p^2< \left(2p^2+p+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2p^2+p\right)^2< \left(2k\right)^2< \left(2p^2+p+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2k\right)^2=\left(2p^2+p+1\right)^2\)

\(\Rightarrow4p^4+4p^3+4p^2+4p+4=\left(2p^2+p+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow p^2-2p-3=0\Rightarrow p=3\)