Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngạo Thiên

Bài 1:

Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n - 65 đều là hai số chính phương

Bài 2:

Cho A = p4 trong đó p là số nguyên tố

a) A có những ước dương nào?

b) Chứng minh tổng các ước dương của A là một số chính phương

Bài 3:

Cho 3 số nguyên x ; y ; z sao cho x = y + z. Chứng minh rằng 2(xy-yz+zx) là tổng của 3 số chính phương

Thiên Hàn
28 tháng 8 2018 lúc 10:34

Bài 1:

Đặt \(n+24=a^2\)

\(n-65=b^2\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=n+24-n+65\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=1.89\)

Vì a - b < a + b

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a+b=89\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=45\\b=44\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n+24=45^2\)

\(\Rightarrow n=2001\)

Bài 2:

a) Các ước dương của A là:

1 ; p ; p2 ; p3 ; p4

b) Gọi m2 là tổng các ước dương của A

\(\Rightarrow m^2=1+p+p^2+p^3+p^4\)

\(\Rightarrow4m^2=4+4p+4p^2+4p^3+4p^4\)

\(\Rightarrow4p^4+4p^3+p^2< \left(2m\right)^2< 4p^4+4p^3+9p^2+4p+4\)

\(\Rightarrow\left(2p^2+p\right)^2< \left(2m\right)^2< \left(2p^2+p+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2m\right)^2=\left(2p^2+p+1\right)^2\)

\(\Rightarrow4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=\left(2p^2+p+1\right)^2\)

Bài 3:

Ta có:

\(x=y+z\)

\(\Rightarrow x-y-z=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y-z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(xy-yz+xz\right)\)

Vậy 2( xy - yz + zx) là tổng của 3 số chính phương với x = y + z


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Quang Đức
Xem chi tiết
Lê Nguyễn Minh Ngọc
Xem chi tiết
Phương Nguyễn Ngọc Mai
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Yukru
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Lê Thanh Hân
Xem chi tiết
Matsumi
Xem chi tiết
Trần Bảo Hân
Xem chi tiết