Ta có: \(\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}=\frac{ab+bn}{b\left(b+n\right)}-\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}=\frac{bn-an}{b\left(b+n\right)}=\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(n+n\right)}\)
Nếu: \(b>a\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{n}\)
Nếu: \(b< a\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)
Tui nghĩ là đề phải là \(a,b,c\inℕ^{\times}\) chứ nhỉ?
\(TH_1:\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}=1\)
\(TH_2:\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b\Leftrightarrow a+n>b+n\)
Mà: \(\frac{a+n}{b+n}\)có phần thừa so với \(1\) là \(\frac{a-b}{b+n};\frac{a}{b}\)có phần thừa so với \(1\)là \(\frac{a-b}{b}\)
Vì: \(\frac{a-b}{b+n}< \frac{a-b}{b}\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)
\(TH_3:\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< b\Leftrightarrow a+n< b+n\)
Khi đó: \(\frac{a+n}{b+n}\) có phần bù với \(1\) là \(\frac{b-a}{b+n};\frac{a}{b}\)có phần bù tới \(1\)là \(\frac{b-a}{b}\)
Vì: \(\frac{b-a}{b+n}< \frac{b-a}{b}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)
Vậy: Nếu: \(\frac{a}{b}=1\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}=1\)
Nếu: \(\frac{a}{b}>1\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)
Nếu: \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)
