Lời giải:
\(Q=\sum \sqrt{a+b}+\sum \sqrt{a+bc}=\sum \sqrt{a+b}+\sum \sqrt{a(a+b+c)+bc}\)
\(=\sum \sqrt{a+b}+\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\)
Ta thấy:
\(\left\{\begin{matrix} a+b=1-c\leq 1\\ b+c=1-a\leq 1\\ c+a=1-b\leq 1\end{matrix}\right.\) do $a,b,c\geq 0$
Do đó \(\left\{\begin{matrix} a+b,b+c,c+a\in [0;1]\\ (a+b)(a+c); (b+c)(b+a); (c+a)(c+b)\in [0;1]\end{matrix}\right.\)
Sử dụng BĐT quen thuộc: Với $a\in [0;1]$ thì $a\geq a^2$ ta có:
\(Q\geq (a+b)+(b+c)+(c+a)+(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)\)
\(\Leftrightarrow Q\geq 2(a+b+c)+(a+bc)+(b+ca)+(c+ab)\)
\(\Leftrightarrow Q\geq 3(a+b+c)+ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow Q\geq 3+ab+bc+ac\). Mà $ab+bc+ac\geq 0$ với $a,b,c\geq 0$
\(\Rightarrow Q\geq 3+ab+bc+ac\geq 3\)
Vậy \(Q_{\min}=3\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,0,0)\) và hoán vị.
