\(a^2\left(b+c-a\right)+b^2\left(c+a-b\right)+c^2\left(a+b-c\right)\le3abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c-a^3+b^2c+b^2a-b^3+c^2a+c^2b-c^3\le3abc\) (*)
Áp dụng BĐT Caushy ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
\(\Rightarrow-a^3-b^3-c^3\le-3abc\left(1\right)\)
Ta có: \(a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+2abc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng BĐT Caushy ta có:
\(a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+2abc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b\le6abc\left(2\right)\)
Lấy (1) + (2) ta suy ra (*) đúng \(\Rightarrowđpcm\)
Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
BĐT cần cm tương đương với:
$a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(a+c)\geq 0$
$\Leftrightarrow a(a^2-ac-ab+bc)+b(b^2-bc-ba+ac)+c(c^2-ca-cb+ab)\geq 0$
$\Leftrightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)[a(a-c)-b(b-c)]+c(c-a)(c-b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^2-b^2-ac+bc)+c(c-a)(c-b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b-c)+c(c-a)(c-b)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a\geq b\geq c\geq 0$)
Do đó ta có đpcm.
