Question

Cho a,b,c > 0. Cmr: \(\frac{a\left(b+c\right)}{a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b\left(c+a\right)}{b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{c\left(a+b\right)}{c^2+\left(a+b\right)^2}\le\frac{6}{5}\)

Answer 1

Lời giải khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+(b+c)^2=a^2+\frac{(b+c)^2}{4}+\frac{3(b+c)^2}{4}$

$\geq a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^2$

$\Rightarrow \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\leq \frac{4a}{4a+3b+3c}$

Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz:

$\frac{4a}{4a+3b+3c}=\frac{4a}{a+\frac{a+b+c}{3}+...+\frac{a+b+c}{3}}\leq \frac{1}{100}.4a\left(\frac{1}{a}+\frac{3}{a+b+c}+...+\frac{3}{a+b+c}\right)$

$=\frac{1}{25}+\frac{27a}{25(a+b+c)}$

Tương tự với những phân thức còn lại và cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{25}+\frac{27}{25}=\frac{6}{5}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Answer 2

Answer 3

Vũ Minh Tuấn, buithianhtho, Băng Băng 2k6, Akai Haruma, No choice teen, Nguyễn Thanh Hằng, HISINOMA KINIMADO, Arakawa Whiter, @Nguyễn Việt Lâm, @tth_new

Giúp e vs ạ! Thanks! Cần gấp lắm ạ!

Answer 4

Tham khảo ạ!