\(1=\left(a+b+c\right)^4=\left(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\right)^2\)
Mặt khác áp dụng \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\ge8\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow1\ge8\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge8\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\Leftrightarrow2abc\left(a+b+c\right)\ge0\) (hiển nhiên đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right);\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) và các hoán vị của chúng
