Question

Cho \(a,b,c,d\)nguyên dương. CMR : Nếu \(a^2+b^2+ab=c^2+d^2+cd\). Thì \(a+b+c+d\)là hợp số.

Các bạn lớp 6 và các anh chị lớp 7, 8, 9 cũng có thể làm bài này nhé!

Answer 1

ĐCM vãi cả Please sigh

\(a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-ab=\left(c+d\right)^2-cd\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(c+d\right)^2=ab-cd\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c-d\right)\left(a+b+c+d\right)=ab-cd\)

Giả sử a+b+c+d là số nguyên tố

Đặt \(a+b+c+d=p\Rightarrow a+b+c\equiv-d\left(modp\right)\)

Mặt khác:

\(ab-cd\equiv0\left(modp\right)\Rightarrow ab+c\left(a+b+c\right)\equiv0\left(modp\right)\Rightarrow\left(a+c\right)\left(b+c\right)\equiv0\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow a+c\equiv b+c\equiv0\left(modp\right)\) ( vô lý nha )

Vậy a+b+c+d là hợp số,nhớ trước có sol khá ngắn mà quên mất tiêu