Ta có:
\(a^2+b^2=c^2+d^2\)
nên \(a^2-c^2=d^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-c\right)\left(a+c\right)=\left(d-b\right)\left(d+b\right)\) \(\left(1\right)\)
Lại có: \(a+b=c+d\) \(\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\) \(a-c=d-b\)
+) Nếu \(a-c=0\) \(\Rightarrow\) \(a=c\) và \(d-b=0\) \(\Rightarrow\) \(d=b\) thì biểu thức \(a^{2010}+b^{2010}=c^{2010}+d^{2010}\)
luôn đúng với mọi \(a;b;c;d\)
+) Nếu \(a-c\ne0\) \(\Rightarrow\) \(a\ne c\) và \(d-b\ne0\) \(\Rightarrow\) \(d\ne b\) thì khi đó biểu thức \(\left(1\right)\) trở thành:
\(a+c=b+d\) \(\left(3\right)\)
Cộng \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(2a+b+c=2d+b+c\)
\(\Rightarrow\) \(2a=2d\)
\(\Rightarrow\) \(a=d\)
Từ đây, ta dễ dàng suy ra được \(b=c\) (theo \(\left(2\right);\left(3\right)\) )
Vì \(a=d\) và \(b=c\) nên do đó, biểu thức \(a^{2010}+b^{2010}=c^{2010}+d^{2010}\) luôn đúng với mọi \(a;b;c;d\)
Vậy, ...
