Question

Cho a+b+c+d= 0

CMR : \(a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(b+c\right)\left(ad-bc\right)\)

Answer 1

Ta có :

\(a+b+c+d=0\)

\(\Rightarrow b+c=-\left(a+d\right)\)

\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2=\left(a+d\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2-\left(a+d\right)^2=0\)

\(\Rightarrow b^2+c^2+2bc-a^2-d^2-2ad=0\)

Lại có :

\(a^3+b^3+c^3+d^3\)

\(=\left(a+d\right)\left(a^2+d^2-ad\right)+\left(b+c\right)\left(b^2+c^2-bc\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left(b^2+c^2-bc\right)-\left(b+c\right)\left(a^2+d^2-ad\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left[\left(b^2+c^2-bc\right)-\left(a^2+d^2-ad\right)\right]\)

\(=\left(b+c\right)\left[\left(b^2+c^2+2bc-a^2-d^2-2ad\right)+3ad-3bc\right]\)

\(=\left(b+c\right)\left[0+3\left(ad-bc\right)\right]\)

\(=3\left(b+c\right)\left(ad-bc\right)\)

Vậy ...

Answer 2

  Ta có : a + b +c + d = 0

                  => a + d = - b - c

                 => (a + d) = -(b + c) 

                => (a + d)³ = -(b + c)³

a³ + 3a²d + 3ad² + d³ = -(b³ + 3b²c + 3bc² + c³)

a³ + 3a²d + 3ad² + d³ = -b³ - 3b²c - 3bc² - c³

       a³ + b³ + c³ + d³ = -3a²d - 3ad² - 3b²c - 3bc² 

       a³ + b³ + c³ + d³ = -3ad(a + d) - 3bc(b + c)

       a³ + b³ + c³ + d³ = -3ad(-b - c) - 3bc(b + c)

       a³ + b³ + c³ + d³ = 3ad(b + c) - 3bc(b + c)

       a³ + b³ + c³ + d³ = 3(b + c)(ad - bc)