+> \(TH1:a+b+c\ne0\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{a+b}{c}=2\\\frac{b+c}{a}=2\\\frac{c+a}{b}=2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2c\\b+c=2a\\a+c=2b\end{cases}}\)
Có: \(M=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
\(=\left(\frac{b+a}{b}\right)\left(\frac{b+c}{c}\right)\left(\frac{c+a}{a}\right)\)
\(=\frac{2c}{b}.\frac{2a}{c}.\frac{2b}{a}\)
\(=8\)
+>\(TH2:a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)
Từ trường hợp 1 ta có :
\(M=\left(\frac{a+b}{b}\right)\left(\frac{b+c}{c}\right)\left(\frac{c+a}{a}\right)\)
\(=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}\)
\(=-1\)
Vậy giá trị biểu thức M là 8 hoặc -1
