Question

cho abc=1 với a,b,c la các số dương .chứng minh:

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)

 

Answer 1

Xét BĐT phụ: a²+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 lớn hơn bằng 2ab+2b+2 => 1/a^2+2b^2+3 nhỏ hơn bằng 1/2ab+2b+2
Tương tự mấy cái kia, cộng vào được:
VT<= 1/2(1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1)
Vì abc=1 nên thay abc vào những chỗ có 1, thay abc vào phân số thứ nhất 1 lần, phân số thứ hai 2 lần, giữ nguyên phân số thứ 3 là 1/ac+a+1
Cuối cùng được: VT nhỏ hơn bằng (ac+a+1)/(ac+a+1)*1/2 =1/2 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1