Từ a+b+c=0 =>c=-a-b.thay vào có:
b+bc+ca= ab-(a+b)^2= -(a^2+ab+b^2)= -1/2[(a+b)^2+a^2+b^2)]
vì (a+b)^2>=0, a^2>=0,b^2>=0 nên biểu thức này luôn luôn =<0.
Dấu = xảy ra khi a=b=c=0.
ta có: ab+bc+ca=0
nhân 2 vế với 3 ta có:
3ab+3bc+3ca=0(1)
a+b+c=0
=>(a+b+c)2=0
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0(2)
lấy (2)-(1);ta có:
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca=0
=>a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
nhân 2 vế với 2 ta có:
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
(a-b)2≥0
(b-c)2≥0
(c-a)2≥0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a-b=b-c=c-a=0
=>\(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)(đfcm)
