Viet Nam TTS 1996 - Những cách giải hay$?$
Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:
(a+b)^4 +(b+c)^4 +(c+a)^4 geqq frac{4}{7}(a^4+b^4+c^4)
Giải (cách của em)
Đặt $tfrac{a+b}{2}$ và $f(a;b;c)text{VT-VP}$
Ta có: f(a;b;c) -f(t;t;c) {frac {3, left( a-b right) ^{2}Big[7,{a}^{2}+10,ab+7,{b}^{2}+56,c
left( a+b+c right) Big]}{56}} geqq 0
Ta có điều này là vì sumlimits_{cyc} a(a+b+c) geqq 0 nên có thể giả sử $c(a+b+c) geqq 0$
Sau cùng$,$ ta chứng minh f(t;t;tc) geqq 0 Leftarrow {frac {2, le...
Đọc tiếp
Viet Nam TTS 1996 - Những cách giải hay$?$
Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:
\[(a+b)^4 +(b+c)^4 +(c+a)^4 \geqq \frac{4}{7}(a^4+b^4+c^4)\]
Giải (cách của em)
Đặt $t=\frac{a+b}{2}$ và $f(a;b;c)=\text{VT-VP}$
Ta có: \[f(a;b;c) -f(t;t;c) = {\frac {3\, \left( a-b \right) ^{2}\Big[7\,{a}^{2}+10\,ab+7\,{b}^{2}+56\,c
\left( a+b+c \right) \Big]}{56}} \geqq 0\]
Ta có điều này là vì \[\sum\limits_{cyc} a(a+b+c) \geqq 0\] nên có thể giả sử $c(a+b+c) \geqq 0$
Sau cùng$,$ ta chứng minh \[f(t;t;tc) \geqq 0 \Leftarrow {\frac {2\, \left( 5\,{c}^{2}+14\,ct-{t}^{2} \right) ^{2}}{35}}+{
\frac {12\, \left( 2\,c+7\,t \right) ^{2}{t}^{2}}{35}} \geqq 0\]
Xong.
Em rất muốn xem những cách khác từ mọi người$?$