Ta có: \(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu
Ta có: \(\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left[\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{a+1}\right]=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{a+1}\right)\) (1)
CMT2 được: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) (2)
\(\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\) (3)
Cộng (1);(2) và (3) vế theo vế
Ta được: \(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)+\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}\right)+\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}.\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)
=> đpcm
Bổ sung:
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1
cậu giải thích rõ hơn chỗ ta có thứ hai được không? mk chưa hiểu lắm
ok bạn
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{ab+a+1+1}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\)
\(=\frac{1}{4}.\frac{4}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
Áp dụng BĐT \(\frac{4}{a+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
Sau đó ta thế abc = 1 vào được:
\(\le\frac{1}{4}.\left(\frac{abc}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
rồi bạn đọc bài mình giải lúc nãy rồi đó, chỗ đó mình làm ra rõ rồi
