Bài hay quá!
Theo bất đẳng thức Cô-Si cho 3 số dương ta có
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)^4\left(1+\frac{1}{b}\right)^4\left(1+\frac{1}{c}\right)^4}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3.\) (Lúc đó kết hợp hai bất đẳng thức ta được ngay điều phải chứng minh).
Thực vậy, đầu tiên áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 3 số dương ta có
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{1}{abc}\ge\)
\(\ge1+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+\frac{1}{abc}=\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3.\)
Mặt khác ta có \(2+abc=1+1+abc\ge3\sqrt[3]{abc}\to\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{2+abc}\to\)
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3.\) (ĐPCM)
