Question

Cho a,b,c>0, ab+bc+ca=3. 

CMR \(\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\le1\)

Answer 1

Áp dụng bđt cauchy dạng engel ta có:

\(\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2+1+1+1}\)

\(=\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\le\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)+3}=\frac{9}{2.3+3}=1\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Answer 2

Hình như bạn sai thì phải nhưng mình lỡ k r

1 bên \(\ge\)

1 bên \(\le\)

Sao so sánh đc

Answer 3

Vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\le\frac{1}{ab+bc+ca}\)

Answer 4

\(\frac{1}{a^2+b^2+1}+...\ge\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2}\le1\)

thì ko có đc \(\frac{1}{a^2+b^2+1}+...\le1\)