Question

Cho △ABC nhọn (AB < AC) và điểm M là trung điểm của cạnh AB. Trên tia đối của tia MC, lấy điểm N sao cho MN = MC.

a)  Chứng minh ΔAMN = ΔBMC và AN // BC.

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, BN. Chứng minh M là trung điểm của EF.

Answer 1

a) Xét Δ AMN và Δ BMC có:

+ MN = MC (gt).

+ \(\widehat{AMN} = \widehat{BMC}\) (2 góc đối đỉnh).

+ MA + MB (M là trung điểm của AB).

\(\Rightarrow\) Δ AMN = Δ BMC (c - g - c).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MAN} = \widehat{MBC}\) (2 góc tương ứng).

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong.

\(\Rightarrow\) AN // BC (dhnb).

b) Xét tam giác ABC có:

+ M là trung điểm của AB (gt).

+ E là trung điểm của AC (gt).

\(\Rightarrow\) ME là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) ME // BC và ME = \(\dfrac{1}{2}\) BC (Tính chất đường trung bình trong tam giác). (1)

Xét tam giác NBA có:

+ M là trung điểm của AB (gt).

+ F là trung điểm của BN (gt).

\(\Rightarrow\) MF là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) MF // BC và MF = \(\dfrac{1}{2}\) BC (Tính chất đường trung bình trong tam giác). (2) 

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) 3 điểm E, M, F thẳng hàng và MF = ME (cùng = \(\dfrac{1}{2}\) BC).

\(\Rightarrow\) M là trung điểm của EF (đpcm).