\(\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{b}{a}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{c}{b}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{c}}}\)
Đặt \(\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z\) khi đó x,y,z>0 và xyz=1
Không mất tính tổng quát giả sử z là số lớn nhất trong 3 số x,y,z \(\Rightarrow z^3\ge xyz=1\Rightarrow z\ge1\)
\(\Rightarrow xy\le1\)
Ta có:\(VT=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\right)}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\)
\(\le\sqrt{2.\frac{2}{1+\sqrt{xy}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\)(Vì \(xy\le1\) thì \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) tự chứng minh)
\(=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\)
Ta cần chứng minh:\(\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}}+\frac{1}{\sqrt{z+1}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\) với \(z\ge1\)(Tuơng đuơng là ra)
Okie nha
