Question

Cho a,b,c là độ dài các cạnh tam giác ABC. x,y,z tương ứng là độ dài các đường phân giác của góc đối diện cạnh đó. CMR

a) \(x< \frac{2cb}{b+c}\)

b) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Answer 1

a) Gọi AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\left(D\in BC\right)\)

Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC tại M

Ta có: \(\widehat{ABM}=\widehat{BAD};\widehat{AMB}=\widehat{DAC}\)

Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)(vì AD là phân giác \(\widehat{BAC}\))

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{ABM}\) nên \(\Delta\)ABM cân tại A)

Từ đó có AM=AB=c. \(\Delta\)ABM có: MB<AM+AB=2c

\(\Delta\)ADC có: MB//AD, nên \(\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{MC}\) (hệ quả định lý Ta-let)

do đó \(AD=\frac{AC}{MC}\cdot MB< \frac{AC}{AC+AM}\cdot2bc=\frac{2bc}{b+c}\)

b) Cmtt câu a) ta có: \(\hept{\begin{cases}y< \frac{2ca}{c+a}\\z< \frac{2ab}{a+b}\end{cases}}\)

Do đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)