Xét BĐT: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy},\forall x,y\ge1\)
Chứng minh: Quy đồng ta được: \(\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)+\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+y^2+xy+xy^3+1+x^2+xy+x^3y\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow2xy+xy^3+x^3y\ge x^2+y^2+2x^2y^2\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)đúng \(\forall x,y\ge1\)
Không mất tính tổng quát giả sử c là số nhỏ nhất trong 3 số a, b, c
Áp dụng BDDT phía trên: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
Cần chứng minh: \(\frac{2}{1+ab}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{1+abc}\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{1+ab}-\frac{1}{1+abc}\right)+\frac{1}{1+c^2}-\frac{1}{1+abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2ab\left(c-1\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+abc\right)}+\frac{c\left(ab-c\right)}{\left(1+c^2\right)\left(1+abc\right)}\ge0\)đúng \(\forall a,b\ge c\ge1\)
Vậy BĐT đã được chứng minh, dấu = xảy ra khi a=b=c=1
