Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Ngọc

Cho a,b,c là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
(a+b-c)^2*(b+c-a)^2*(c+a-b)^2>=(a^2+b^2-c^2)*(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2)

Hoàng Phú Thiện
4 tháng 9 2022 lúc 15:40

Giả sử ta có:

\(\left(a+b-c\right)^2\ge a^2+b^2-c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge a^2+b^2-c^2\)

\(\Leftrightarrow2c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow c^2+ab-bc-ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)-\left(bc-c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\)

Tương tự ta cũng có:

\(\left(b+c-a\right)^2\ge b^2+c^2-a^2\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c-a\right)\ge0\)

\(\left(c+a-b\right)^2\ge c^2+a^2-b^2\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)

Do đó:

\(\left(a+b-c\right)^2.\left(b+c-a\right)^2.\left(c+a-b\right)^2\ge\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2-b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a-c\right)\left(b-c\right)\right]\left[\left(b-a\right)\left(c-a\right)\right]\left[\left(c-b\right)\left(a-b\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\ge0\) (đúng)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có: điều phải chứng minh