Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\left|b\right|=2b\)( vì b > 0 )
Tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\); \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)
Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Giả sử ta phải chứng minh: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\left(a,b,c>0\right)\).
\(\Leftrightarrow\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+\frac{2ab.bc}{ac}+\frac{2bc.ca}{ab}+\frac{2ca.ab}{cb}\ge\)\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+2b^2+2c^2+2a^2-a^2-b^2-c^2\ge\)\(2ab+2bc+2ca\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\left(1\right)\).
Vì \(a,b,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\frac{a^2b^2}{c^2}+c^2\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{c^2}.c^2}=2ab\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{b^2c^2}{a^2}+a^2\ge2bc\left(a,b,c>0\right)\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{c^2a^2}{b^2}+b^2\ge2ca\left(4\right)\).
Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:
\(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\).
Do đó bất đẳng thức đã được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c>0\).
Vậy \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)với \(a,b,c>0\).
