Question

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR:

\(\frac{a+bc}{b+c}\)+\(\frac{b+ca}{c+a}\)+\(\frac{c+ab}{a+b}\)\(\ge\)2

Answer 1

a+bc/b+c  +  b+ca/c+a  +  c+ab/a+b

ta có: a+bc/c+b = a+(1-a-c).c/(1-a-c)+c = a+c-ac-c^2/1-a = (a+c)-c(a+c)/1-a = (a+c)(1-c)/1-a = (1-b)(1-c)/1-a

tương tự với các phân số còn lại:

ta đc:H=(1-b)(1-c)/1-a  +  (1-a)(1-c)/1-b  +  (1-a)(1-b)/1-c

đặt 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z =>

yz/x + xz/y + xy/z

áp dụng bđt cô-sin =>

yz/x + xz/y >= 2 căn yz/x . xz/y=2z

tương tự => xz/y + xy/z >= 2x và xy/z + yz/x >= 2y

=> 2H >= 2(x+y+z) = 2(1-a + 1-b + 1-c)=2(3 - (a+b+c))=2(3-1)=2.2=4

=> H>= 2

=> bt trên >= 2

Answer 2

a+bc/b+c  +  b+ca/c+a  +  c+ab/a+b ta có: a+bc/c+b = a+(1-a-c).c/(1-a-c)+c = a+c-ac-c^2/1-a = (a+c)-c(a+c)/1-a = (a+c)(1-c)/1-a = (1-b)(1-c)/1-a tương tự với các phân số còn lại: ta đc:H=(1-b)(1-c)/1-a  +  (1-a)(1-c)/1-b  +  (1-a)(1-b)/1-c đặt 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z => yz/x + xz/y + xy/z áp dụng bđt cô-sin => yz/x + xz/y >= 2 căn yz/x . xz/y=2z tương tự => xz/y + xy/z >= 2x và xy/z + yz/x >= 2y => 2H >= 2(x+y+z) = 2(1-a + 1-b + 1-c)=2(3 - (a+b+c))=2(3-1)=2.2=4 => H>= 2 => bt trên >= 2 

Answer 3

-Nhận xét: có a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(c+a)

Tương tự: b+ac=(b+a)(b+c); c+ab=(c+a)(c+b)

Do đó VT=\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}{c+a}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}{c+a}\ge2\left(a+b\right)\\\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\ge2\left(a+c\right)\\\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(b+c\right)\end{cases}}\)

Vậy 2.VT \(\ge4\left(a+b+c\right)=4\)\(\Leftrightarrow VT\ge2\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=\(\frac{1}{3}\)

Answer 4

chi minh hoi sao k co toan ,tv lop 4 nhi