Question

Cho a,b,c là các số thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1.0<a<b

2. Phương trình ax² + bx +c = 0 vô nghiệm.

CMR:\(\dfrac{a+b+c}{b-a}>3\)

Answer 1

Lời giải:

Vì \(ax^2+bx+c=0\) vô nghiệm nên \(\Delta=b^2-4ac< 0\)

\(\Rightarrow b^2< 4ac\)

Kết hợp với \(a,b>0\Rightarrow c>0\)

Theo BĐT Cô-si: \(4\sqrt{ac}\leq 4a+c\Rightarrow 4ac\leq \frac{(4a+c)^2}{4}\)

Do đó: \(b^2< \frac{(4a+c)^2}{4}\Rightarrow (2b)^2< (4a+c)^2\). Với \(a,b,c>0\)

\(\Rightarrow 2b< 4a+c\)

\(\Rightarrow a+b+c> 3(b-a)\)

Mà: \(b-a>0\Rightarrow \frac{a+b+c}{b-a}> \frac{3(b-a)}{b-a}=3\) (đpcm)