Question

cho a,b,c là các số nguyên dương và S=\(\frac{a}{a+b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)+\(\frac{c}{c+a}\)

CMR S ko có giá trị nguyên

Answer 1

bạn có biết BĐT này chưa ? \(\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

Answer 2

Ta có:

a/(a+b) > a/(a+b+c); b/(b+c) > b/(a+b+c); c/(c+a) > c/(a+b+c)

=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) > a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c) = (a+b+c)/(a+b+c) = 1

=> S > 1 (1)

Mà:

a/(a+b) < (a+b)/(a+b+c); b/(b+c) < (b+c)/(a+b+c); c/(c+a) < (c+a)/(a+b+c)

=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < (a+b)/(a+b+c) + (b+c)/(a+b+c) + (c+a)/(a+b+c) = 2(a+b+c)/(a+b+c) = 2

=> S < 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < S < 2

=> S không có g.trị nguyên.