Question

Cho a,b,c là các số dương thoaar mãn ab+bc+ca=3 

Cmr: \(\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{1+b^2+c^2}+\frac{1}{1+c^2+a^2}\le1\)

Answer 1

Ai giúp mình với :(( Mình cần gấp ạ

Answer 2

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :

\(\left(a^2+b^2+1^2\right)\left(1^2+1^2+c^2\right)\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^2+b^2}=\frac{1+1+c^2}{\left(a^2+b^2+1\right)\left(1+1+c^2\right)}\le\frac{2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự : \(\frac{1}{1+b^2+c^2}=\frac{1+1+a^2}{\left(1+b^2+c^2\right)\left(1+1+a^2\right)}\le\frac{2+a^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

  \(\frac{1}{1+c^2+a^2}=\frac{1+1+b^2}{\left(1+c^2+a^2\right)\left(1+1+b^2\right)}\le\frac{2+b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Cộng từng vế BĐT lại, ta được : 

\(\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{1+b^2+c^2}+\frac{1}{1+c^2+a^2}\le\frac{6+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{6+a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}=1\)

Vậy BĐT đã được chứng minh 

Answer 3

Cảm ơn nhé!!

Answer 4

Giả sử b = min{a,b,c}

\(VT=3-\Sigma\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}=3-\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a^2+b^2+1\right)}-\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a^2+b^2+1\right)}\)

\(\le3-\frac{4\left(a+b+c\right)^2+4\left(c-a\right)^2}{2\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\right]}\)

Vậy cần chứng minh: \(\frac{\left(a+b+c\right)^2+4\left(c-a\right)^2}{2\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\right]}\le2\)

\(\Leftrightarrow4\left(a-b\right)\left(c-b\right)\ge0\) (đúng)