Câu hỏi của Lê Thiên Anh

Question

Cho a,b,c là các số dương thỏa mản: a+b+c=3.

$CMR:\dfrac{1}{2ab^2+1}+\dfrac{1}{2bc^2+1}+\dfrac{1}{2ca^2+1}\ge1$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Ta có:
$\text{VT}=1-\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+1-\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+1-\frac{2ca^2}{2ca^2+1}$

$\text{VT}=3-\underbrace{\left( \frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}\right)}_{N}$ (1)

Áp dụng BĐT Am-Gm:

$2ab^2+1=ab^2+ab^2+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^4}$

$\Rightarrow \frac{2ab^2}{2ab^2+1}\leq \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}=\frac{2}{3}\sqrt[3]{ab^2}$

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra :

$N\leq \frac{2}{3}(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2})$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt[3]{ab^2}\leq \frac{a+b+b}{3}$; $\sqrt[3]{bc^2}\leq \frac{b+c+c}{3}; \sqrt[3]{ca^2}\leq \frac{c+a+a}{3}$

$\Rightarrow N\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)$

$\Leftrightarrow N\leq \frac{2}{3}(a+b+c)=2$ (2)

Từ $(1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$Câu trả lời: Lời giải:

Ta có:
$\text{VT}=1-\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+1-\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+1-\frac{2ca^2}{2ca^2+1}$

$\text{VT}=3-\underbrace{\left( \frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}\right)}_{N}$ (1)

Áp dụng BĐT Am-Gm:

$2ab^2+1=ab^2+ab^2+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^4}$

$\Rightarrow \frac{2ab^2}{2ab^2+1}\leq \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}=\frac{2}{3}\sqrt[3]{ab^2}$

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra :

$N\leq \frac{2}{3}(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2})$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt[3]{ab^2}\leq \frac{a+b+b}{3}$; $\sqrt[3]{bc^2}\leq \frac{b+c+c}{3}; \sqrt[3]{ca^2}\leq \frac{c+a+a}{3}$

$\Rightarrow N\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)$

$\Leftrightarrow N\leq \frac{2}{3}(a+b+c)=2$ (2)

Từ $(1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Hà Nam Phan Đình · Answer

Áp dụng BĐT B.C.S ta có :

$\dfrac{1}{2ab^2+1}+\dfrac{1}{2bc^2+1}+\dfrac{1}{2ca^2+1}\ge\dfrac{9}{2ab^2+2bc^2+2ca^2+3}$

Ta phải chứng minh $\dfrac{9}{2ab^2+2bc^2+2ca^2+3}\ge1$

$\Leftrightarrow2ab^2+2bc^2+2ac^2+3\le9$ do a,b,c dương nên chia cả hai vế cho abc ta được: $2\left(a+b+c\right)+\dfrac{3}{abc}\le\dfrac{9}{abc}$

$\Leftrightarrow6\le\dfrac{6}{abc}\Leftrightarrow abc\le1$ Bất đẳng thức cuối luôn đúng thật vậy:

áp dụng BĐT AM - GM :

$\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\le1$

$\Rightarrowđpcm$Câu trả lời: Áp dụng BĐT B.C.S ta có :

$\dfrac{1}{2ab^2+1}+\dfrac{1}{2bc^2+1}+\dfrac{1}{2ca^2+1}\ge\dfrac{9}{2ab^2+2bc^2+2ca^2+3}$

Ta phải chứng minh $\dfrac{9}{2ab^2+2bc^2+2ca^2+3}\ge1$

$\Leftrightarrow2ab^2+2bc^2+2ac^2+3\le9$ do a,b,c dương nên chia cả hai vế cho abc ta được: $2\left(a+b+c\right)+\dfrac{3}{abc}\le\dfrac{9}{abc}$

$\Leftrightarrow6\le\dfrac{6}{abc}\Leftrightarrow abc\le1$ Bất đẳng thức cuối luôn đúng thật vậy:

áp dụng BĐT AM - GM :

$\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\le1$

$\Rightarrowđpcm$

Ly Hoàng · Answer

Ta có:

$\text{VT}=1-\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+1-\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+1-\frac{2ca^2}{2ca^2+1}$

$\text{VT}=3-\underbrace{\left( \frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}
{2ca^2+1}\right)}_{N}$ (1)

Áp dụng BĐT Am-Gm:

$2ab^2+1=ab^2+ab^2+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^4}$

$\Rightarrow \frac{2ab^2}{2ab^2+1}\leq \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}=\frac{2}{3}\sqrt[3]{ab^2}$

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra :

$N\leq \frac{2}{3}(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2})$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt[3]{ab^2}\leq \frac{a+b+b}{3}$; $\sqrt[3]{bc^2}\leq \frac{b+c+c}{3}; \sqrt[3]{ca^2}\leq \frac{c+a+a}{3}$

$\Rightarrow N\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)$

$\Rightarrow N\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)$  (2)

Từ  $(1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$Câu trả lời: Ta có:

$\text{VT}=1-\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+1-\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+1-\frac{2ca^2}{2ca^2+1}$

$\text{VT}=3-\underbrace{\left( \frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}
{2ca^2+1}\right)}_{N}$ (1)

Áp dụng BĐT Am-Gm:

$2ab^2+1=ab^2+ab^2+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^4}$

$\Rightarrow \frac{2ab^2}{2ab^2+1}\leq \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}=\frac{2}{3}\sqrt[3]{ab^2}$

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra :

$N\leq \frac{2}{3}(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2})$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt[3]{ab^2}\leq \frac{a+b+b}{3}$; $\sqrt[3]{bc^2}\leq \frac{b+c+c}{3}; \sqrt[3]{ca^2}\leq \frac{c+a+a}{3}$

$\Rightarrow N\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)$

$\Rightarrow N\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)$  (2)

Từ  $(1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

§1. Bất đẳng thức

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)