Question

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\ge1\). Cmr a + b + c \(\ge\) ab + bc + ca

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\((a+b+1)(a+b+c^2)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+1\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c^2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}\)

Tương tự cho các phân thức còn lại, suy ra:

\(1\leq \frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\leq \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}+\frac{b+c+a^2}{(a+b+c)^2}+\frac{c+a+b^2}{(a+b+c)^2}\)

\(\Leftrightarrow 1\leq \frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2\leq 2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a+b+c\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$