Question

Cho a,b,c là các số dương. CMR

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\)  

Answer 1

Ta có: \(a< a+b\left(a,b>0\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b}< 1\)

Có: \(\frac{a}{a+b}=\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+b}}\)

Lại có: \(\frac{a}{b+a}< 1\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+a}}< 1\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+b}}< \sqrt{\frac{a}{a+b}}\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \sqrt{\frac{a}{a+b}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{b}{b+c}< \sqrt{\frac{b}{b+c}}\)

\(\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{c}{c+a}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\)

                                                                                               đpcm

Sai thì thôi nhé~

Mới lp 8