Ta có : a+b+c = 1 ==> a=1-b-c thay vào căn thức được :
\(\sqrt{\frac{\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)}{c+ab}}=\sqrt{\frac{\left(1-b-c+bc\right)\left(b+c-bc-c^2\right)}{c+b-b^2-bc}}=\sqrt{\frac{\left(1-b\right)\left(1-c\right)^2\left(b+c\right)}{\left(1-b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(1-c\right)^2}=\left|1-c\right|=1-c=a+b\)(đpcm)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng : \(\frac{1}{\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(c^2+ca+a^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c^2+ca+a^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}}\ge4+\frac{8}{\sqrt{3}}\)
Cộng tác viên giúp với !
Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(ab+bc+ca=1.\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{abc}+\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{9\sqrt{3}}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có
\(\left(b+c\right)\sqrt[k]{\frac{bc+1}{a^2+1}}+\left(a+c\right)\sqrt[k]{\frac{ac+1}{b^2+1}}+\left(a+b\right)\sqrt[k]{\frac{ab+1}{c^2+1}}\ge6\)
Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn
\(\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
Chứng minh rằng: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)+\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3abc. Chứng minh rằng :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\left[\frac{a^4}{\left(ab+1\right)\left(ac+1\right)}+\frac{b^4}{\left(bc+1\right)\left(ab+1\right)}+\frac{c^4}{\left(ca+1\right)\left(bc+1\right)}\right]\ge\frac{27}{4}\)
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn, \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>0\)chứng minh rằng:
\(\frac{a\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge2\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: \(ab+bc+ca=abc\)
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{bc\left(a+1\right)}+\frac{b}{ac\left(b+1\right)}+\frac{c}{ab\left(c+1\right)}\le\frac{1}{4}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\) .
Chứng minh rằng \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
Cảm ơn mọi người đã giúp ạ ..................
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
\(\frac{ab+bc+ca+1}{\left(a+b+c+1\right)^2}+\frac{3}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge1\)
