3 cạnh của một tam giác là ba số dương
áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc\)\
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
mà a,b,c là 3 cạnh của một tam giác đều => a=b=c => (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
a,b,c là 3 cạnh tam giác nên a>0,b>0,c>0
\(\Leftrightarrow a^2b+abc+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+abc+bc^2=8abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+bc^2+ab^2+ac^2+a^2c+ac^2-6abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+bc^2-2abc\right)+\left(ab^2+ac^2-2abc\right)+\left(a^2c+b^2c-2abc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a^2-2ac+c^2\right)+a\left(b^2-2bc+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)
Mà b>0;(a-c)^2>=0 => b(a-c)^2>=0;
a>0;(b-c)^2>=0 => a(b-c)^2 >=0;
c>0;(a-b)^2>=0 => c(a-b)^2>=0
Do đó: \(b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a-c=0\\b-c=0\\a-b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=c\\b=c\\a=b\end{cases}}}\Leftrightarrow a=b=c\)
=> a,b,c là 3 cạnh của một tam giác đều
