Question

cho a,b,c duong tm \(b^2+c^2\le a^2\)

tìm min \(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Answer 1

\(P\ge\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{4a^2}{b^2+c^2}=\left(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}\right)+\frac{3a^2}{b^2+c^2}\ge5\)

dấu " = "  <=>   \(b=c=\frac{a}{\sqrt{2}}\)

Answer 2

Có : (a-b)^2 >= 2ab 

<=> a^2+b^2-2ab>=0

<=>a^2+b^2>=2ab (1)

<=> a^2+b^2+2ab>=4ab

<=> (a+b)^2 >=4ab (2)

Với a,b > 0 thì chia cả 2 vế (2) cho 4ab.(a+b) ta được :

a+b/ab >= 4/a+b

<=> 1/a + 1/b >= 4/a+b (3)

Áp dụng bđt (3) thì P >= 1/a^2.(b^2+c^2) +a^2.4/(b^2+c^2)

Áp dụng tiếp bđt (1) thì P >= 2\(\sqrt{\frac{1}{a^2}.\left(b^2+c^2\right).a^2.\frac{4}{b^2+c^2}}\) = 2.2 = 4

Dấu "=" xảy ra <=> (b^2+c^2)/a^2 = a^2/(b^2+c2) và b^2=c^2 <=> a^2 = b^2+c^2 và b^2=c^2 <=> a^2=2b^2=2c^2

Vậy Min P = 4 <=> a^2 = 2b^2 = 2c^2