Question

Cho ∆ABC có góc B > 90°.  Gọi d là đường trung trực của BC,  O là giao điểm của AB và d.  Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA.  Chứng minh rằng d là trung trực của AE. 

Answer 1

GỌI I LÀ GIAO ĐIỂM CỦA AE VÀ ĐƯỜNG THẲNG d

GỌI M LÀ GIAO ĐIỂM CỦA BC  VÀ TIA  Od

XÉT \(\Delta BMO\)VÀ\(\Delta CMO\)CÓ

\(BM=CM\left(GT\right)\)

\(\widehat{BMO}=\widehat{CMO}=90^o\)

MO LÀ CẠNH CHUNG

=>\(\Delta BMO\)=\(\Delta CMO\)(C-G-C)

\(\Rightarrow\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\)( HAI GÓC TƯƠNG ỨNG)

=> TIA Od  là tia phân giác của  \(\widehat{BOC}\)

VÌ ĐIỂM I NẰM TRÊN TIA Od

=>\(AI=EI\left(1\right)\)(ĐIỂM nẰM TRÊn TIA PHÂn GIÁC THÌ CÁCH ĐỀU HAI CẠnH GÓC ĐÓ :> )

VÌ \(\Delta BMO=\Delta CMO\left(CMT\right)\)

=> OB = OC (2)

=>\(\Delta BOC\)CÂN TẠI O

TA CÓ \(BO+BA=AO\)

          \(CO+CE=EO\)

MÀ  \(AB=CE\left(GT\right);BO=CO\)(TỪ 2)

\(\Rightarrow AO=EO\)

=> \(\Delta AOE\)CÂN TẠI O

XÉT ​\(\Delta AOE\)CÂN TẠI O \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\frac{180^o-\widehat{AOE}}{2}\left(3\right)\)

XÉT \(\Delta BOC\)CÂN TẠI O \(\Rightarrow\widehat{OBC}=\frac{180^o-\widehat{AOE}}{2}\left(4\right)\)

​TỪ (3) VÀ (4) => \(\widehat{OAE}=\widehat{OBC}\)

MÀ HAI GÓC NÀY Ở VỊ TRÍ ĐỒNG VỊ BẰNG NHAU

=> \(BC//AE\)

=> \(\widehat{M_1}=\widehat{I_1}=90^o\)( đồng vị)

\(\Rightarrow\widehat{I_1}=90^o\left(5\right)\)

từ (1) và (5) =>d là trug trực của AE