a: Kẻ EH⊥AB tại H, EI⊥AD tại I; EK⊥BC tại K
Xét ΔBHE vuông tại H và ΔBKE vuông tại K có
BE chung
\(\hat{HBE}=\hat{KBE}\)
Do đó: ΔBHE=ΔBKE
=>EH=EK
Ta có: AD là phân giác của góc BAC
=>\(\hat{BAD}=\hat{CAD}=\frac12\cdot\hat{BAC}=60^0\)
Ta có: \(\hat{EAH}+\hat{EAB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(\hat{EAH}=180^0-120^0=60^0\)
Xét ΔEHA vuông tại H và ΔEIA vuông tại I có
EA chung
\(\hat{HAE}=\hat{IAE}\)
Do đó: ΔEHA=ΔEIA
=>EH=EI
mà EH=EK
nên EI=EK
Xét ΔDIE vuông tại I và ΔDKE vuông tại K có
DE chung
IE=KE
Do đó: ΔDIE=ΔDKE
=>\(\hat{IDE}=\hat{KDE}\)
=>DE là phân giác của góc ADC
b: Kẻ FM⊥AC tại M; FN⊥AD tại N; FG⊥BD tại G
Ta có: \(\hat{FAM}+\hat{FAC}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(\hat{FAM}=180^0-120^0=60^0\)
Xét ΔANF vuông tại N và ΔAMF vuông tại M có
AF chung
\(\hat{NAF}=\hat{MAF}\)
Do đó: ΔANF=ΔAMF
=>FN=FM
Xét ΔCMF vuông tại M và ΔCGF vuông tại G có
CF chung
\(\hat{MCF}=\hat{GCF}\)
Do đó: ΔCMF=ΔCGF
=>FM=FG
mà FN=FM
nên FN=GF
Xét ΔDNF vuông tại N và ΔDGF vuông tại G có
DF chung
FN=FG
Do đó: ΔDNF=ΔDGF
=>\(\hat{NDF}=\hat{GDF}\)
=>DF là phân giác của góc ADB
Ta có; \(\hat{ADB}+\hat{ADC}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{EDA}+\hat{FDA}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{EDF}=180^0\)
=>\(\hat{EDF}=90^0\)
=>ΔEDF vuông tại D
