Cho △ABC cân tại A,trên cạnh BC lần lượt lấy 2 điểm M,N sao cho BM=CN<\(\dfrac{BC}{2}\)
a)Chứng minh:△AMN là tam giác cân
b)Kẻ BH ⊥ AM (H∈AM); kẻ CK ⊥ AN(K∈AN).Chứng minh:BH=CK;AH=AK
c)Gọi O là giao điểm của HB và KC.△OBC là tam giác gì?Vì sao?
d)Khi góc MAN=60 độ và BM=MN=NC.Hãy tính số đo các góc của △ABC
a) Xét \(\Delta ABM;\Delta ACN\) có :
\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (tam giác ABC cân tại A)
\(BM=CN\) (gt)
=> \(\Delta ABM;\Delta ACN\) (c.g.c)
=> \(AM=AN\) (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta AMN\) có :
\(AM=AN\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AMN\) cân tại A (đpcm)
b) Xét \(\Delta ABH;\Delta ACK\) có :
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\) (từ \(\Delta ABM;\Delta ACN\) -cmt)
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta ABH=\Delta ACK\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}BH=CK\\AH=AK\end{matrix}\right.\) (2 cạnh tương ứng)
c) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AM=AN\left(cmt\right)\\AH=AK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AH=AM+HM\\AK=AN+NK\end{matrix}\right.\)
Nên : \(MH=NK\)
Xét \(\Delta BMH;\Delta CNK\) có :
\(BM=CN\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BHM}=\widehat{CKN}\left(=90^o\right)\)
\(MH=NK\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta BMH=\Delta CNK\) (2 cạnh góc vuông)
=> \(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta OBC\) có :
\(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\) (do \(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\) -cmt)
=> \(\Delta OBC\) cân tại O
