Question

cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c + abc = 4

Tìm GTNN của biểu thức P = \(a^3+b^3+c^3\)

Answer 1

Ta có \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a.1.1}=3a\Leftrightarrow a^3\ge3a-2\) (Cosi)

Tương tự \(b^3\ge3b-2;c^3\ge3c-2\)

Cộng lại ta được  \(a^3+b^3+c^3\ge3\left(a+b+c\right)-6\)

Lại có \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Cosi)

Do đó \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3\left(a+b+c+abc\right)-6=3.4-6=6\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\) có GTNN là 3

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)