đặt f(a)= a^3 +b^3
thay b=1-a ta có :
f(a)= a^3 + (1-a)^3
<=>f(a) = 3a^2 -3a +1
ta có f(a) lớn hơn hoặc bằng -đen ta / 4a
=> f(a) lớn hơn hoặc bằng 1/4
=>min f(a) = 1/4 đạt được khi a=1/2 ; b=1-a =1/2
Cách khác . Bổ sung ĐK : a ; b \(\ge0\)
Ta có : \(a+b=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=1\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=1\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab=1\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3=1-3ab\)
Do a ; b \(\ge0\) , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow3ab\le\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3=1-3ab\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy ...
