Mình học lớp 8 nên vẫn chưa biết "Min" là gì vậy bạn?
\(S=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+4\)
Dễ có:\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}=8\)
Khi đó:\(S\ge\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}\)
Vậy ta có đpcm
\(S\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\frac{1}{2}\)
Bài làm:
Ta có: \(S=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(=a^2+\frac{1}{a^2}+2+b^2+\frac{1}{b^2}+2\)
\(=\left(a^2+b^2\right)+\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+4\) (1)
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) (2)
Mà \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow a^2b^2\le\frac{1}{16}\) (3)
Áp dụng (2) và (3) vào (1) ta được:
\(S\ge\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}}+4=\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=\frac{1}{2}\)
