Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyen Hong Ngoc

Cho ab là số nguyên chứng minh rằng:

Cho ab3 - a3 bchia hết cho 30

 

 

Lê Song Phương
30 tháng 7 2023 lúc 20:10

\(P=a^7b^3-a^3b^7\)

\(P=a^3b^3\left(a^4-b^4\right)\)

\(P=a^3b^3\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

Ta sẽ chứng minh \(P\) chia hết cho 5 và cho 6.

a) CM \(5|P\).  Kí hiệu \(\left(a;b\right)\) là cặp số dư lần lượt của a và b khi chia cho 5.

Nếu a hoặc b chia hết cho 5 thì xong. Còn nếu \(a\equiv b\left(mod5\right)\) cũng coi như hoàn tất. \(a+b\equiv0\left(mod5\right)\) cũng như thế.

 Do đó ta loại đi được các trường hợp \(\left(0;0\right),\left(1;1\right),\left(2;2\right),\left(3;3\right),\left(4;4\right)\) và \(\left(1;4\right),\left(2;3\right),\left(3;2\right),\left(4;1\right)\) và \(\left(0;1\right),\left(0;2\right),\left(0;3\right),\left(0;4\right),\left(1;0\right),\left(2;0\right),\left(3;0\right),\left(4;0\right)\)

 Ta chỉ còn lại 8 trường hợp là \(\left(1;2\right),\left(1;3\right),\left(2;4\right),\left(3;4\right)\) và các hoán vị. Nếu \(\left(a;b\right)\equiv\left(1;2\right)\left(mod5\right)\) thì \(a^2+b^2=\left(5k+1\right)^2+\left(5l+2\right)^2=25k^2+10k+1+25l^2+20l+4=5P+5⋮5\)

Các trường hợp còn lại xét tương tự \(\Rightarrow5|P\).

b) CM \(6|P\). Ta thấy \(a^3b^3\left(a-b\right)\left(a+b\right)\) luôn là số chẵn (nếu \(a\equiv b\left(mod2\right)\) thì \(2|a-b\), còn nếu \(a\ne b\left(mod2\right)\) thì \(2|a^3b^3\).

 Đồng thời, cũng dễ thấy \(3|P\) vì nếu \(a\) hay \(b\) chia hết cho 3 thì coi như xong. Nếu \(a\equiv b\left(mod3\right)\) cũng xong. Còn nếu \(a+b\equiv0\left(mod3\right)\) thì cũng hoàn tất.

 Suy ra \(6|P\)

 Từ đó suy ra \(30|P\)

Phương Hồng Hạnh
30 tháng 7 2023 lúc 23:06

�=�3�3(�4−�4)

�=�3�3(�−�)(�+�)(�2+�2)

Ta sẽ chứng minh  chia hết cho 5 và cho 6.

a) CM 5∣�.  Kí hiệu (�;�) là cặp số dư lần lượt của a và b khi chia cho 5.

Nếu a hoặc b chia hết cho 5 thì xong. Còn nếu �≡�(���5) cũng coi như hoàn tất. �+�≡0(���5) cũng như thế.

 Do đó ta loại đi được các trường hợp (0;0),(1;1),(2;2),(3;3),(4;4) và (1;4),(2;3),(3;2),(4;1) và (0;1),(0;2),(0;3),(0;4),(1;0),(2;0),(3;0),(4;0)

 Ta chỉ còn lại 8 trường hợp là (1;2),(1;3),(2;4),(3;4) và các hoán vị. Nếu (�;�)≡(1;2)(���5) thì �2+�2=(5�+1)2+(5�+2)2=25�2+10�+1+25�2+20�+4=5�+5⋮5

Các trường hợp còn lại xét tương tự ⇒5∣�.

b) CM 6∣�. Ta thấy �3�3(�−�)(�+�) luôn là số chẵn (nếu �≡�(���2) thì 2∣�−�, còn nếu �≠�(���2) thì 2∣�3�3.

 Đồng thời, cũng dễ thấy 3∣� vì nếu  hay  chia hết cho 3 thì coi như xong. Nếu �≡�(���3) cũng xong. Còn nếu �+�≡0(���3) thì cũng hoàn tất.

 Suy ra 6∣�

 Từ đó suy ra 30∣�


Các câu hỏi tương tự
nguyen trong hieu
Xem chi tiết
nguyễn hà anh
Xem chi tiết
Đỗ Hồng Nhung
Xem chi tiết
natsu daneel
Xem chi tiết
Phan Tùng Dương
Xem chi tiết
Lương Huyền Ngọc
Xem chi tiết
Nguyễn Hồng Nga
Xem chi tiết
Đoàn Vũ Đức
Xem chi tiết
Huyền
Xem chi tiết