Question

Cho a,b là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn |a - b| < 1. Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}< 3\)

Answer 1

Ta giả sử : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}< 3\) => \(\dfrac{a^2}{ba}+\dfrac{b^2}{ab}< 3=>\dfrac{a^2+b^2}{ab}< \dfrac{3ab}{ab}\)

hay \(a^2+b^2< 3ab\) => \(a^2+b^2+2ab< 3ab+2ab\) => \(\left(a+b\right)^2< 5ab\)

Theo đề /a-b/<1 mà /a-b/ luôn > hoặc = 0 và a,b < 1 nên 0 < hoặc bằng a-b <1

Xét trường hợp a-b=0=> a=b:

\(\left(a+b\right)^2=\left(2a\right)^2=4a^2\)(1)

\(5ab=5aa=5a^2\)(2)

Mà (2)>(1) nên \(\left(a+b\right)^2< 5ab\) (điều giả sử đúng)

Xét trường hợp 0<a-b<1 =>a>b hoặc b>a

còn lại tự mò nhé :)