Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trân Vũ

Cho a.b \(\ge0\)\(a^2+b^2=1\). Tìm GTNN của biểu thức:

A = \(\left(1+a\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)+\left(1+b\right)\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\)

Lightning Farron
3 tháng 6 2018 lúc 22:41

Sửa: \(a;b>0\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A=\left(a+1\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)+\left(b+1\right)\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\)

\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}+2\)

\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)+\left(b+\dfrac{1}{2b}\right)+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+2\)

\(\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{2a}}+2\sqrt{b\cdot\dfrac{1}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{1}{2a}\cdot\dfrac{1}{2b}}+2\)

\(=4+2\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)\(\ge4+2\sqrt{2}+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}\)

\(=4+3\sqrt{2}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)


Các câu hỏi tương tự
Lê Hương Giang
Xem chi tiết
Lâm Tinh Thần
Xem chi tiết
Jinka Yaruki
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Sĩ Bí Ăn Võ
Xem chi tiết
Edogawa Conan
Xem chi tiết
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
Phạm Thúy Vy
Xem chi tiết