Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đức Anh Gamer

Cho a,b >0 và a+b+3ab=1. Tìm GTLN của \(P=\frac{6ab}{a+b}-a^2-b^2\)

Tran Le Khanh Linh
31 tháng 7 2020 lúc 20:56

do a>0, b>0 nên 1=a+b+3ab\(\ge3\sqrt[3]{3\left(ab\right)^2}\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{3\left(ab\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{27}\ge3\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{81}\ge\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{9}\ge ab\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt{ab}\)do đó

P=\(\frac{6ab}{a+b}-a^2-b^2=\frac{6ab}{a+b}-\left(a^2+b^2\right)\le\frac{6ab}{2\sqrt{ab}}-2ab=-2ab+3\sqrt{ab}=-2\left(ab-\frac{3}{2}\sqrt{ab}\right)\)

\(=-2\left[ab-2\sqrt{ab}\cdot\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2-\frac{5}{6}\sqrt{ab}\right]\)

\(=-2\left(\sqrt{ab}-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{9}+\frac{5}{3}\sqrt{ab}\le\frac{2}{9}+\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{7}{9}\)

vậy maxP=\(\frac{7}{9}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b>0\\a+b+3ab=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
An Ann
Xem chi tiết
ngô thành hải
Xem chi tiết
Thị Thanh Huyền Lê
Xem chi tiết
điên123
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
Xem chi tiết
Trần Mai Anh
Xem chi tiết
Vũ Thu An
Xem chi tiết
Cô Gái Mùa Đông
Xem chi tiết
Phan Nghĩa
Xem chi tiết