Question

Cho A=2+2^2+2^3+...+2^100

Tìm số dư khi chia A cho 7

Answer 1

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(A=\left(2+2^2+2^3\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(A=2\left(1+2+2^2\right)+...+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=2\left(1+2+4\right)+...+2^{98}\left(1+2+4\right)\)

\(A=2.7+...+2^{98}.7\)

\(A=7.\left(2+...+2^{98}\right)\)

\(\Rightarrow A⋮7\)

Vậy A:7 dư 0

Answer 2

Ta có: A-2 = 2²+2³+...+2¹⁰⁰

Tổng số số hạng của (A-2) là (100-2+1)=99 (số hạng)

Nhóm 3 số hạng liên tiếp với nhau ta được:

A-2 = (2²+2³+2⁴)+(2⁵+2⁶+2⁷)+...+(2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰)

<=> A-2 = 2²(1+2+2²)+2⁵(1+2+2²)+...+2⁹⁸(1+2+2²)

=> A-2 = 7.(2²+2⁵+...+2⁹⁸)

Như vậy, A-2 chia hết cho 7

=> A chia cho 7 dư 2

Answer 3

A=2+2^2+2^3+...+2^100

2A=2.(2+2^2+2^3+...+2^100)

2A=2^2+2^3+2^4+...+2^101

2A-A=(2^2+2^3+2^4+...+2^101)-(2+2^2+2^3+...+2^100)

A=2^101-2