Question

Cho \(A=1+7+7^2+7^3+...+7^{2019}+7^{2020}\)

Tìm số dư khi chia A cho 19.

Answer 1

Ta có :

\(A=\left(1+7+7^2\right)+\left(7^3+7^4+7^5\right)+...+\left(7^{2018}+7^{2019}+7^{2020}\right)\)

\(=\left(1+7+7^2\right)+7^3\left(1+7+7^2\right)+...+7^{2018}\left(1+7+7^2\right)\)

\(=\left(1+7+7^2\right)\left(1+7^3+7^6+...+7^{2018}\right)\)

\(=57\cdot\left(1+7^3+7^6+...+7^{2018}\right)\)

\(=19\cdot3\cdot\left(1+7^3+7^6+...+7^{2018}\right)⋮19\) (đpcm)

Answer 2

\(A=1+7+7^2+7^3+...+7^{2019}+7^{2020}\)

\(\Leftrightarrow A=\left(1+7+7^2\right)+\left(7^3+7^4+7^5\right)+....+\left(7^{2018}+7^{2019}+7^{2020}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\left(1+7+49\right)+7^3\left(1+7+49\right)+...+7^{2018}\left(1+7+49\right)\)

\(\Leftrightarrow A=57+7^3\cdot57+...+7^{2018}\cdot57\)

\(\Leftrightarrow A=57\left(1+7^3+....+7^{2018}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=3\cdot19\left(1+7^3+...+7^{2018}\right)\)

=> A chia 19 dư 0

Answer 3

Ta có:A=1+(7+7²+7³)+...+(7²⁰¹⁸+7²⁰¹⁹+7²⁰²⁰)

         A=1+[7(1+7+49)+...+7²⁰¹⁸(1+7+49)]

         A=1+[57(7+7²+...+7²⁰¹⁸)]

         Do 57(7+7²+...+7²⁰¹⁸) chia hết cho 19 nên 1+[57(7+7²+..+7²⁰¹⁸)] chia 19 dư 1