Question

 

Cho: A=1/1.2 + 1/3.4 + 1/5.6  +...+ 1/1997.1998;      B= 1/1000.1998+1/1001.1997+1/1002.1996 +...+ 1/1998.1000

Chứng minh rằng:A:B là một số nguyên.

Answer 1

A = 1/(1.2) + 1/(3.4) + 1/(5.6) +....+ 1/(1997.1998) = 
(1 - 1 / 2) + (1 / 3 - 1 / 4) + ... + (1 / 1997 - 1 / 1998) = 
(1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... + 1998) - 2(1 / 2 + 1 / 4 + ... + 1 / 1998) = 
(1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... + 1998) - (1 + 1 / 2 + ... + 1 / 999) = 
1 / 1000 + 1 / 1001 + ... + 1 / 1998 
2A = (1 / 1000 + 1 / 1001 + ... + 1 / 1998) + (1 / 1998 + 1 / 1997 + ... + 1 / 1000) = 
(1 / 1000 + 1 / 1998) + (1 / 1001 + 1 / 1997) + ... + (1 / 1998 + 1 / 1000) = 
2998*[1 / (1000*1998) + 1 / (1001*1997) + ... + 1 / (1998*1000)] = 2998B 
=> A / B = 1499 nguyên 

Answer 2

A = (1/1.2) + (1/3.4) + (1/5.6) +....+ ( 1/1997.1998) 
ta có 
1/1*2 = 1 - 1/2 
1/3*4 = 1/3 - 1/4 
... 
1/1997*1998 = 1/1007 - 1/1998 
bạn gộp lại tự giải tiếp nha 

Answer 3

Áp dụng 1 / [n(n+1)] = 1 / n - 1 / (n+1) với mọi n ≥ 1 có: 
A = 1/(1.2) + 1/(3.4) + 1/(5.6) +....+ 1/(1997.1998) = 
(1 - 1 / 2) + (1 / 3 - 1 / 4) + ... + (1 / 1997 - 1 / 1998) = 
(1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... + 1998) - 2(1 / 2 + 1 / 4 + ... + 1 / 1998) = 
(1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... + 1998) - (1 + 1 / 2 + ... + 1 / 999) = 
1 / 1000 + 1 / 1001 + ... + 1 / 1998 
2A = (1 / 1000 + 1 / 1001 + ... + 1 / 1998) + (1 / 1998 + 1 / 1997 + ... + 1 / 1000) = 
(1 / 1000 + 1 / 1998) + (1 / 1001 + 1 / 1997) + ... + (1 / 1998 + 1 / 1000) = 
2998*[1 / (1000*1998) + 1 / (1001*1997) + ... + 1 / (1998*1000)] = 2998B 
=> A / B = 1499 nguyên