Giả sử A là số nguyên tố.
Đầu tiên ta có nhận xét: \(\left(a+1\right)\left(a-1\right)=a^2-a+a-1=a^2-1.\)
Theo giả thiết A sẽ có 2n+1 chữ số, các chữ số là 0,1 xen kẽ. Suy ra
\(A=10^{2n}+10^{2n-2}+\cdots+1\to10^2A=10^{2n+2}+10^{2n}+\cdots+10^2.\)
Vì vậy \(99A=10^2A-A=10^{2\left(n+1\right)}-1\to A=\frac{10^{2\left(n+1\right)-1}}{99}=\frac{\left(10^{n+1}-1\right)\left(10^{n+1}+1\right)}{99}.\)
Nếu \(n+1=2k\) là số chẵn thì \(10^{n+1}-1=10^{2k}-1=9999\ldots99\) có \(2k\) số \(9\) nên chia hết cho \(99\). Vì A là số nguyên tố và \(10^{n+1}+1>1\) nên \(\frac{10^{n+1}-1}{99}=1\to n+1=2\to n=1\to A=101.\)
Nếu \(n+1=2k+1\) là số lẻ thì \(10^{n+1}+1=100\ldots01\) có 2k+2 chữ số, nên chia hết cho 11 theo dấu hiệu nhận biết. Mà \(\frac{10^{n+1}-1}{9}\) là số nguyên dương. Thành thử \(\frac{10^{n+1}-1}{9}=1\) hoặc \(\frac{10^{n+1}+1}{11}=1\). Suy ra \(n=0\to A=1\) (loại).
Đáp số \(A=101.\)
