Vì a>0; b>0 nên theo bđt Cauchy ta có :
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)
\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}}=2\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
cách khác nhé
Đặt \(\sqrt{a}\rightarrow x;\sqrt{b}\rightarrow y\) khi đó bài toán trở thành \(x,y>0\)
Chứng minh : \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y\)
Áp dụng Bất đẳng thức Svacxo ta có :
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y\Leftrightarrow a=b\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
