Violympic toán 8
Các câu hỏi tương tự
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2019}\)
CMR: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\sqrt{\frac{2019}{8}}\)
1. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z1. TÌM GTNN của biểu thức: Afrac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}
2. Cho a, b,c0 và a+b+c3. Tìm GTNN của biểu thức Sfrac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}.
3. CHo x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn đk: x+y+z≤ 6.
CM: frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z} ≥ frac{3}{2}.
4. Cho 4 số dương a, b,c, d . CMR a^4+b^4+c^4+d^4 ≥ 4abcd.
Đọc tiếp
1. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. TÌM GTNN của biểu thức: A=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
2. Cho a, b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức S=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\).
3. CHo x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn đk: x+y+z≤ 6.
CM: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) ≥ \(\frac{3}{2}\).
4. Cho 4 số dương a, b,c, d . CMR \(a^4+b^4+c^4+d^4\) ≥ 4abcd.
Bài 1: Cho a,b,c∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ableleft(frac{a+b}{2}right)^2lefrac{a^2+b^2}{2}
b) frac{a^3+b^3}{2}geleft(frac{a+b}{2}right)^3 ; với a,b ≥ 0
c) a4+b4 ≥ a3b + ab3
d) a4+3 ≥ 4a
e) a3+b3+c3 ≥ 3abc ; với a,b,c 0
f) a^4+b^4lefrac{a^6}{b^2}+frac{b^6}{a^2} ; với a,b ≠ 0
g) frac{1}{1+a^2}+frac{1}{1+b^2}gefrac{2}{1+ab} ; với ab ≥ 1
h) (a5+b5)(a+b) ≥ (a4+b4)(a2+b2) ; với ab 0
Đọc tiếp
Bài 1: Cho a,b,c∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
b) \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) ; với a,b ≥ 0
c) a4+b4 ≥ a3b + ab3
d) a4+3 ≥ 4a
e) a3+b3+c3 ≥ 3abc ; với a,b,c > 0
f) \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) ; với a,b ≠ 0
g) \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) ; với ab ≥ 1
h) (a5+b5)(a+b) ≥ (a4+b4)(a2+b2) ; với ab > 0
Cho a, b dương. CMR:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Cho a,b>0 thoả mãn a+b=1
CMR: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{25}{4}\)
Cho các số thực dương thỏa man a + b + c = 1. CMR
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\ge\frac{9}{10}\)
Cho các số thực dương a,b,c. CMR
\(\frac{\left(b+c-a\right)^2}{\left(b+c\right)^2+a^2}+\frac{\left(a+c-b\right)^2}{\left(a+c\right)^2+b^2}+\frac{\left(b+a-c\right)^2}{\left(b+a\right)^2+c^2}\ge\frac{3}{5}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:a+b+c=1.CMR:\(\frac{ab+c}{a+b}+\frac{bc+a}{b+c}+\frac{ac+b}{a+c}\)≥2
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). CMR
\(\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\le\frac{3}{4}\)