Gọi ƯCLN(A; B) = d
=> A ; B chia hết cho d
=> m + n chia hết cho d và B = m2 + n2 chia hết cho d
m + n chia hết cho d => m(m+ n) chia hết cho d => m2 + mn chia hết cho d
=> (m2 + mn) - (m2 + n2) chia hết cho d => n(m - n) chia hết cho d
Nhận xét: n và m - n nguyên tố cùng nhau vì
Gọi ƯCLN(n;m - n) = d' => n ; m - n chia hết cho d' => n; m chia hết cho d' => d' là ước chung của m; n
Mà theo bài cho ƯCLN(m; n) = 1 nên d' = 1
Vậy n; m - n nguyên tố cùng nhau
Ta có n(m - n) chia hết cho d => n chia hết cho d hoặc m - n chia hết cho d
+) Trường hợp: n chia hết cho d : Ta có m + n chia hết cho d nên m chia hết cho d => d là ước chung của m ; n mà ƯCLN(m; n) = 1
=> d = 1
+) Trường hợp: m - n chia hết cho d: Ta có m + n chia hết cho d => (m - n) + (m + n) chia hết cho d => 2m chia hết cho d
- Khi m lẻ => 2 chia hết cho d hoặc m chia hết cho d
Nếu 2 chia hết cho d mà d lớn nhất => d = 2
Nếu m chia hết cho d , theo trường hợp trên => n chia hết cho d => d = 1
- Khi m chẵn, vì m; n nguyên tố cùng nhau nên n lẻ . Lại có 2n chia hết cho d => 2 chia hết cho d hoặc n chia hết cho d
Quay lại trường hợp như trên => d = 2 hoặc 1
Vậy d = 1 hoặc d = 2
